Giải tích Ví dụ

$\int \frac{40 x^{3}}{{(5 x^{4} + 3)}^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 5 x^{4} + 3$ . Sau đó $d u = 20 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{20 x^{3}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 5 x^{4} + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} + 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 x^{4} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{4}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $20 x^{3}$ và $0$ .

$20 x^{3}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{2}{u^{4}} d u$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$2 \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 3.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$2 \int u^{- 4} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$2 (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Kết hợp $u^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$2 (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Bước 5.1.2

Di chuyển $u^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Bước 5.2

Rút gọn.

$2 (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 5.3.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{- 2}{3 u^{3}} + C$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{3 u^{3}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 x^{4} + 3$ .

$- \frac{2}{3 {(5 x^{4} + 3)}^{3}} + C$