Giải tích Ví dụ

$\int x {(4 x + 5)}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x + 5$ . Sau đó $d u = 4 d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$4 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $4$ và $0$ .

$4$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) u^{3} \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $u^{3}$ .

$\int (\frac{u}{4} - \frac{5}{4}) \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{u}{4}$ với $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + 3}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $3$ .

$\int \frac{u^{4}}{4 \cdot 4} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3.6

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5}{4} \cdot \frac{u^{3}}{4} d u$

Bước 3.7

Kết hợp $- \frac{5}{4}$ và $\frac{u^{3}}{4}$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{4 \cdot 4} d u$

Bước 3.8

Nhân $4$ với $4$ .

$\int \frac{u^{4}}{16} - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{4}}{16} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{16}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{16}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} \int u^{4} d u + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \int \frac{5 u^{3}}{16} d u$

Bước 8

Vì $\frac{5}{16}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{5}{16}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - (\frac{5}{16} \int u^{3} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{16} (\frac{1}{5} u^{5} + C) - \frac{5}{16} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10.2

Viết lại $\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{5} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ ở dạng $\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{16} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{5}{16}$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{4 \cdot 16} u^{4} + C$

Bước 10.3.2

Nhân $4$ với $16$ .

$\frac{1}{80} u^{5} - \frac{5}{64} u^{4} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x + 5$ .

$\frac{1}{80} {(4 x + 5)}^{5} - \frac{5}{64} {(4 x + 5)}^{4} + C$