Giải tích Ví dụ

$\int \frac{4 x^{2}}{\sqrt[3]{4 x^{3} + 5}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x^{3} + 5$ . Sau đó $d u = 12 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x^{3} + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$12 x^{2} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $12 x^{2}$ và $0$ .

$12 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{u}} \cdot \frac{1}{12} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{4}{\sqrt[3]{u}}$ với $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{4}{\sqrt[3]{u} \cdot 12} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $12$ sang phía bên trái của $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{4}{12 \cdot \sqrt[3]{u}} d u$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\int \frac{4 (1)}{12 \sqrt[3]{u}} d u$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $12 \sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{4 (1)}{4 (3 \sqrt[3]{u})} d u$

Bước 2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{4 \cdot 1}{4 (3 \sqrt[3]{u})} d u$

Bước 2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{3 \sqrt[3]{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{3}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ ở dạng $\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{3} + 5$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{3} + 5)}^{\frac{2}{3}} + C$