Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt[3]{x^{3} + 1} x^{5} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 1$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt[3]{u} {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ ở dạng $u - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u - 1}$ ở dạng ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \sqrt[3]{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{1} \frac{1}{3} d u$

Bước 2.1.1.5

Rút gọn.

$\int \sqrt[3]{u} (u - 1) \frac{1}{3} d u$

Bước 2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $\sqrt[3]{u}$ .

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} (u - 1) d u$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} (u - 1) d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u + \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1 d u$

Bước 3.2

Sắp xếp lại $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ và $- 1$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u - 1 \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ và $u$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 3.4

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u^{1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 3.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 3.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 3.8

Cộng $1$ và $3$ .

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 4

Viết lại $- 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ ở dạng $- \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{4}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

Bước 9

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{3}}$ đối với $u$ là $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Rút gọn.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.2

Viết lại $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ ở dạng $\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Nhân $\frac{3}{4}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.3.2

Nhân $4$ với $3$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 11.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 1$ .

$\frac{1}{7} {(x^{3} + 1)}^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} {(x^{3} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$