Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 x^{2} - 7 x - 5}{2 x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1} \cdot 2} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{2 u_{1}} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 7 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - 5}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , nên $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 4.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 4.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 4.1.3.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 4.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.4.1

Vì $- \frac{1}{2}$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $- \frac{1}{2}$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Bước 4.1.4.2

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Bước 5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{(2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5) \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 5.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{2 (2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5)}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 7.3

Nhân $\int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$ với $1$ .

$\int \frac{2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 8

Chia $2 {u_{2}}^{2} - 7 u_{2} - 5$ cho $2 u_{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

$2 {u_{2}}^{2}$

$7 u_{2}$

$5$

Bước 8.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $2 {u_{2}}^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 u_{2}$ .

					$u_{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$

Bước 8.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			+	$2 {u_{2}}^{2}$	+	$u_{2}$

Bước 8.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $2 u^{2} + u$

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$

Bước 8.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$

Bước 8.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$u_{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$

Bước 8.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- 8 u_{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 u_{2}$ .

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$

Bước 8.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					-	$8 u_{2}$	-	$4$

Bước 8.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- 8 u_{2} - 4$

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					+	$8 u_{2}$	+	$4$

Bước 8.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$u_{2}$	-	$4$
$2 u_{2}$	+	$1$		$2 {u_{2}}^{2}$	-	$7 u_{2}$	-	$5$
			-	$2 {u_{2}}^{2}$	-	$u_{2}$
					-	$8 u_{2}$	-	$5$
					+	$8 u_{2}$	+	$4$
							-	$1$

Bước 8.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int u_{2} - 4 - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u_{2} d u_{2} + \int - 4 d u_{2} + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C + \int - 4 d u_{2} + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C + \int - \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 12

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 13

Giả sử $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Sau đó $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Hãy đặt $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Bước 13.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 u_{2} + 1$ đối với $u_{2}$ là $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 13.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , nên đạo hàm của $2 u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 13.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 13.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 13.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{2}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{2}$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 13.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 13.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Nhân $\frac{1}{u_{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

Bước 14.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{3}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

Bước 15

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 16

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C - 4 u_{2} + C - \frac{1}{2} (\ln (| u_{3} |) + C)$

Bước 17

Rút gọn.

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} - 4 u_{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Bước 18

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 18.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| u_{3} |) + C$

Bước 18.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 u_{2} + 1 |) + C$

Bước 18.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 u_{2} + 1 |) + C$

Bước 18.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 18.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x + 1 - 1}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x + 0}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 2 (- 2) \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 2 \cdot - 2 \frac{2 x}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 2 (2 x) - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |) + C$

Bước 19.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |) + C$

Bước 19.6

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.6.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |) + C$

Bước 19.6.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |) + C$

Bước 19.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 19.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |) + C$

Bước 19.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Bước 19.8

Kết hợp $\ln (| 2 x + 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} {(\frac{1}{2} (2 x + 1) - \frac{1}{2})}^{2} - 4 x - \frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$