Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{e^{8}} \frac{\ln^{2} (x^{2})}{x} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{2}{x} d x$ , nên $- d u_{2} = \frac{- 2}{x} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \ln (x^{2})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\ln (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Bước 1.1.3.2

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Bước 1.1.3.2.2

Kết hợp $\frac{2}{x^{2}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Bước 1.1.3.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.2.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Bước 1.1.3.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Bước 1.1.3.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{lower} = \ln (1^{2})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{lower} = \ln (1)$

Bước 1.3.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{2} = \ln (x^{2})$ .

$u_{upper} = \ln ({(e^{8})}^{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{8})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \ln (e^{8 \cdot 2})$

Bước 1.5.1.2

Nhân $8$ với $2$ .

$u_{upper} = \ln (e^{16})$

Bước 1.5.2

Sử dụng các quy tắc logarit để di chuyển $16$ ra khỏi số mũ.

$u_{upper} = 16 \ln (e)$

Bước 1.5.3

Logarit tự nhiên của $e$ là $1$ .

$u_{upper} = 16 \cdot 1$

Bước 1.5.4

Nhân $16$ với $1$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 16$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{16} \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{16} {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{0}^{16}$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ tại $16$ và tại $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 16^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.2

Nâng $16$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4096 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $4096$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Bước 4.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Bước 4.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Bước 4.4.2.2

Nhân $0$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4096}{3} + 0)$

Bước 4.4.3

Cộng $\frac{4096}{3}$ và $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4096}{3}$

Bước 4.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{2 \cdot 3}$

Bước 4.4.4.2

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{4096}{6}$

Bước 4.4.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $4096$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4096$ .

$\frac{2 (2048)}{6}$

Bước 4.4.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.4.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Bước 4.4.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2048}{2 \cdot 3}$

Bước 4.4.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2048}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2048}{3}$

Dạng thập phân:

$682.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$682 \frac{2}{3}$