Giải tích Ví dụ

$\int_{1}^{3} \frac{e^{\frac{3}{x}}}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{3}{x}$ . Sau đó $d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ , nên $1 d u = - \frac{3}{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{3}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Bước 1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.3

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2})$

Bước 1.1.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x^{- 2}$

Bước 1.1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.1.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.6.2.1

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}}$

Bước 1.1.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{x^{2}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{3}{1}$

Bước 1.3

Chia $3$ cho $1$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{3}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{3}{3}$

Bước 1.5

Chia $3$ cho $3$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{3}^{1} - \frac{1}{3} e^{u} d u$

Bước 2

Vì $- \frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{3} \int_{3}^{1} e^{u} d u$

Bước 3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- \frac{1}{3} e^{u}]_{3}^{1}$

Bước 4

Tính $e^{u}$ tại $1$ và tại $3$ .

$- \frac{1}{3} ((e^{1}) - e^{3})$

Bước 5

Rút gọn.

$- \frac{1}{3} (e - e^{3})$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{3} \cdot (e - e^{3})$

Dạng thập phân:

$5.78908503 \dots$