Giải tích Ví dụ

$\int \frac{6 \cos (t)}{{(2 + \sin (t))}^{2}} d t$

Bước 1

Giả sử $u = 2 + \sin (t)$ . Sau đó $d u = \cos (t) d t$ , nên $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 + \sin (t)$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [2 + \sin (t)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + \sin (t)$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\sin (t)$ đối với $t$ là $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{6}{u^{2}} d u$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$6 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 \int u^{- 2} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$6 (- u^{- 1} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $6 (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $6 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$6 (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$- 6 \frac{1}{u} + C$

Bước 5.2.2

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 6}{u} + C$

Bước 5.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{6}{u} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + \sin (t)$ .

$- \frac{6}{2 + \sin (t)} + C$