Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 5$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{3} + 5$ .

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$u_{lower} = - 1 + 5$

Bước 1.3.2

Cộng $- 1$ và $5$ .

$u_{lower} = 4$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{3} + 5$ .

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 + 5$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $5$ .

$u_{upper} = 6$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

Bước 4

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $6$ và tại $4$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $6^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Bước 4.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Bước 4.3.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

Bước 4.3.1.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

Bước 4.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Nhân $8$ với $- 1$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

Bước 4.3.2.2

Kết hợp $- 8$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

Bước 4.3.2.3

Nhân $- 8$ với $2$ .

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

Bước 4.3.2.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

Dạng thập phân:

$4.46462563 \dots$