Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \csc (π A)$ . Sau đó $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ , nên $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \csc (π A)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d A}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\csc (π A)$ .

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ là $f' (g (A)) g' (A)$ trong đó $f (A) = \csc (A)$ và $g (A) = π A$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $π A$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $π A$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $π$ không đổi đối với $A$ , nên đạo hàm của $π A$ đối với $A$ là $π \frac{d}{d A} [A]$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ là $n A^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

Bước 1.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.3.1

Nhân $π$ với $1$ .

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

Bước 1.1.3.3.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \csc (π A) \cot (π A) π$ .

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $A$ trong $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{6}$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

Bước 1.3.2

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{6})$ là $2$ .

$u_{lower} = 2$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $A$ trong $u_{2} = \csc (π A)$ .

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Kết hợp $π$ và $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

Bước 1.5.2

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

Bước 2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

Bước 4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tính $- \frac{1}{π} u_{2}$ tại $1$ và tại $2$ .

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

Bước 4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{1}{π}$ và $2$ .

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

Bước 4.4.2

Cộng $- 1$ và $2$ .

$\frac{1}{π}$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{1}{π}$

Dạng thập phân:

$0.31830988 \dots$