Giải tích Ví dụ

$\int x^{3} \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {\sqrt{u - 4}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Viết lại ${\sqrt{u - 4}}^{2}$ ở dạng $u - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u - 4}$ ở dạng ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int {(u - 4)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int {(u - 4)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.1.5

Rút gọn.

$\int (u - 4) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{u}$ .

$\int (u - 4) \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (u - 4) \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.2

Kết hợp $u$ và $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int \frac{u^{1 + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int \frac{u^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.7

Cộng $2$ và $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 4 \frac{u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 3.8

Kết hợp $- 4$ và $\frac{u^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 4 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2} d u$

Bước 4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} d u$

Bước 4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (- 2 u^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} d u$

Bước 4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{- 2 u^{\frac{1}{2}}}{1} d u$

Bước 4.2.4

Chia $- 2 u^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) + \int - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C) - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.2

Viết lại $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 10.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{5} {(4 + x^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$