Giải tích Ví dụ

$\int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x$

Bước 1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $\sqrt{1 + \frac{1}{x}}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , nên $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + \frac{1}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2}$

Bước 2.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.1.4.2

Trừ $\frac{1}{x^{2}}$ khỏi $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - \sqrt{u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \sqrt{u} d u$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 6

Viết lại $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{1}{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 + \frac{1}{x})}^{\frac{3}{2}} + C$