Giải tích Ví dụ

$\int 10 x {(4 x^{2} - 3)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 x^{2} - 3$ . Sau đó $d u = 8 x d x$ , nên $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 x^{2} - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{2}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$8 x + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $8 x$ và $0$ .

$8 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 10 u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $10$ .

$\int \frac{10}{8} u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{10}{8}$ và $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

Bước 2.3

Đưa $2$ ra ngoài $10 u^{\frac{3}{2}}$ .

$\int \frac{2 (5 u^{\frac{3}{2}})}{8} d u$

Bước 2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\int \frac{2 (5 u^{\frac{3}{2}})}{2 (4)} d u$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{2 (5 u^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 4} d u$

Bước 2.4.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{4} d u$

Bước 3

Vì $\frac{5}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{5}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{5}{4} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{5}{4} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ ở dạng $\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 x^{2} - 3$ .

$\frac{1}{2} {(4 x^{2} - 3)}^{\frac{5}{2}} + C$