Giải tích Ví dụ

$\int \frac{{(e^{x} + 1)}^{2}}{e^{x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = e^{x} + 1$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $- d u = - e^{x} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = e^{x} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{1} u^{2} d u$

Bước 2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\int 1 u^{2} d u$

Bước 2.2

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$\int u^{2} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{3} {(e^{x} + 1)}^{3} + C$