Giải tích Ví dụ

$\int x \sin^{2} (x^{2}) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\sin^{2} (u_{1})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\sin^{2} (u_{1})$ ở dạng $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{4} (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Bước 10

Giả sử $u_{2} = 2 u_{1}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Hãy đặt $u_{2} = 2 u_{1}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Bước 10.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $2 u_{1}$ đối với $u_{1}$ là $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 10.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Bước 11

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Bước 12

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Bước 13

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Bước 14

Rút gọn.

$\frac{1}{4} (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 15

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Bước 15.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 u_{1}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Bước 15.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \sin (2 x^{2})) + C$

Bước 16

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\sin (2 x^{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Bước 16.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2}) + C$

Bước 16.4

Nhân $\frac{1}{4} (- \frac{\sin (2 x^{2})}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.4.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{\sin (2 x^{2})}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{4 \cdot 2} + C$

Bước 16.4.2

Nhân $4$ với $2$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{\sin (2 x^{2})}{8} + C$

Bước 17

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{8} \sin (2 x^{2}) + C$