Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} \frac{1}{5 - 3 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 5 - 3 x$ . Sau đó $d u = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 5 - 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 3 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 3$ với $1$ .

$0 - 3$

Bước 1.1.4

Trừ $3$ khỏi $0$ .

$- 3$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 5 - 3 x$ .

$u_{lower} = 5 - 3 \cdot 2$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $- 3$ với $2$ .

$u_{lower} = 5 - 6$

Bước 1.3.2

Trừ $6$ khỏi $5$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 5 - 3 x$ .

$u_{upper} = 5 - 3 \cdot 4$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $- 3$ với $4$ .

$u_{upper} = 5 - 12$

Bước 1.5.2

Trừ $12$ khỏi $5$ .

$u_{upper} = - 7$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 7$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int_{- 1}^{- 7} - \frac{1}{3 u} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{3 u} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{3} \int_{- 1}^{- 7} \frac{1}{u} d u)$

Bước 5

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| u |)]_{- 1}^{- 7}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $\ln (| u |)$ tại $- 7$ và tại $- 1$ .

$- \frac{1}{3} ((\ln (| - 7 |)) - \ln (| - 1 |))$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$

Bước 6.2.2

Kết hợp $\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})$ và $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{\ln (\frac{| - 7 |}{| - 1 |})}{3}$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 7$ và $0$ là $7$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{| - 1 |})}{3}$

Bước 6.3.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 1$ và $0$ là $1$ .

$- \frac{\ln (\frac{7}{1})}{3}$

Bước 6.3.3

Chia $7$ cho $1$ .

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{\ln (7)}{3}$

Dạng thập phân:

$- 0.64863671 \dots$