Giải tích Ví dụ

$\int \frac{9 x^{2}}{{(5 - 2 x^{3})}^{4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 5 - 2 x^{3}$ . Sau đó $d u = - 6 x^{2} d x$ , nên $- \frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 5 - 2 x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $5 - 2 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 2 x^{3}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 - 2 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{3}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - 2 (3 x^{2})$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$0 - 6 x^{2}$

Bước 1.1.4

Trừ $6 x^{2}$ khỏi $0$ .

$- 6 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{9}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{9}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{9}{u^{4}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{9}{u^{4} \cdot 6} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$\int - \frac{9}{6 \cdot u^{4}} d u$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\int - \frac{3 (3)}{6 u^{4}} d u$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 u^{4}$ .

$\int - \frac{3 (3)}{3 (2 u^{4})} d u$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int - \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{4})} d u$

Bước 2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int - \frac{3}{2 u^{4}} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{3}{2 u^{4}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{3}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{3}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 5.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{- 4} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ ở dạng $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Bước 7.2

Viết lại $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ ở dạng $- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$- \frac{3}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Bước 7.3.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2}) \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 7.3.3

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Bước 7.3.4

Nhân $\frac{3}{2}$ với $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{3}{2 (3 u^{3})} + C$

Bước 7.3.5

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{3}{6 u^{3}} + C$

Bước 7.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.6.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 (1)}{6 u^{3}} + C$

Bước 7.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.6.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 u^{3}$ .

$\frac{3 (1)}{3 (2 u^{3})} + C$

Bước 7.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 1}{3 (2 u^{3})} + C$

Bước 7.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2 u^{3}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 - 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2 {(5 - 2 x^{3})}^{3}} + C$