Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Tích phân của $\csc (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

Bước 3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ tại $\frac{3 π}{4}$ và tại $\frac{π}{4}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Bước 3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

Bước 3.2.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

Bước 3.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

Bước 3.2.4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cotang âm trong góc phần tư thứ hai.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.2

Giá trị chính xác của $\cot (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.4

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.5.2

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ xấp xỉ $2.41421356$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

Bước 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ xấp xỉ $0.41421356$ , là một số dương, nên ta loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ với $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

Bước 4.2

Nhân $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ với $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ .

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

Bước 4.3

Khai triển mẫu số bằng cách sử dụng phương pháp FOIL.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

Bước 4.4

Rút gọn.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

Bước 4.5

Chia $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ cho $1$ .

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

Bước 4.6

Viết lại $\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ ở dạng $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

Bước 4.7

Cộng $\ln (\sqrt{2} + 1)$ và $\ln (\sqrt{2} + 1)$ .

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Bước 5

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

Dạng thập phân:

$1.76274717 \dots$