Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1.3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 1.4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 1.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 1.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{0}^{\frac{π^{2}}{4}} \sin (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , nên $- d u = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 2.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 2.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 2.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Bước 2.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = 0^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$u_{lower} = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Bước 2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = 0^{1}$

Bước 2.3.4

Tính số mũ.

$u_{lower} = 0$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{upper} = {(\frac{π^{2}}{4})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π^{2}}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{{(π^{2})}^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Nhân các số mũ trong ${(π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{π^{2 (\frac{1}{2})}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.2.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π^{1}}{4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn.

$u_{upper} = \frac{π}{4^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2.5.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 2.5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = \frac{π}{2^{1}}$

Bước 2.5.3.4

Tính số mũ.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 2.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Bước 2.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin (u) d u$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (u) d u$

Bước 4

Tích phân của $\sin (u)$ đối với $u$ là $- \cos (u)$ .

$2 (- \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Bước 5

Tính $- \cos (u)$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$2 (- 0 + \cos (0))$

Bước 6.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 (- 0 + 1)$

Bước 6.3

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (0 + 1)$

Bước 6.4

Cộng $0$ và $1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 6.5

Nhân $2$ với $1$ .

$2$