Giải tích Ví dụ

$\int \frac{21 x^{2}}{4 {(x^{3} + 5)}^{\frac{5}{4}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{3} + 5$ . Sau đó $d u = 3 x^{2} d x$ , nên $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{3} + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{3} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 1.1.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$3 x^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{7}{4 u^{\frac{5}{4}}} d u$

Bước 2

Vì $\frac{7}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{7}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{7}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{5}{4}}} d u$

Bước 3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $u^{\frac{5}{4}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int {(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1} d u$

Bước 3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{5}{4}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5}{4} \cdot - 1} d u$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{5}{4} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Kết hợp $\frac{5}{4}$ và $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{5 \cdot - 1}{4}} d u$

Bước 3.2.2.2

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{7}{4} \int u^{\frac{- 5}{4}} d u$

Bước 3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{7}{4} \int u^{- \frac{5}{4}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{5}{4}}$ đối với $u$ là $- 4 u^{- \frac{1}{4}}$ .

$\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $\frac{7}{4} (- 4 u^{- \frac{1}{4}} + C)$ ở dạng $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ .

$\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Bước 5.2

Viết lại $\frac{7}{4} (- 4 \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$ ở dạng $\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$ .

$\frac{7}{4} \cdot \frac{- 4}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{7}{4} (- \frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}) + C$

Bước 5.3.2

Nhân $\frac{7}{4}$ với $\frac{4}{u^{\frac{1}{4}}}$ .

$- \frac{7 \cdot 4}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Bước 5.3.3

Nhân $7$ với $4$ .

$- \frac{28}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Bước 5.3.4

Đưa $4$ ra ngoài $28$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Bước 5.3.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 u^{\frac{1}{4}}$ .

$- \frac{4 \cdot 7}{4 (u^{\frac{1}{4}})} + C$

Bước 5.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{4 \cdot 7}{4 u^{\frac{1}{4}}} + C$

Bước 5.3.5.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{7}{u^{\frac{1}{4}}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 5$ .

$- \frac{7}{{(x^{3} + 5)}^{\frac{1}{4}}} + C$