Giải tích Ví dụ

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = \frac{1}{x}$ . Sau đó $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , nên $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \frac{1}{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Bước 1.1.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Bước 1.1.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

Bước 1.3.2

Nhân $\frac{π}{6}$ với $1$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

Bước 1.5.2

Nhân $\frac{3 π}{2}$ với $1$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

Bước 3

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

Bước 4

Tính $\sin (u)$ tại $\frac{3 π}{2}$ và tại $\frac{π}{6}$ .

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

Bước 5

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{6})$ là $\frac{1}{2}$ .

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

Bước 6.1.2

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

Bước 6.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

Bước 6.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 6.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Bước 6.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

Bước 6.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

Bước 6.5.2

Trừ $1$ khỏi $- 2$ .

$- \frac{- 3}{2}$

Bước 6.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{3}{2}$

Bước 6.7

Nhân $- - \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 (\frac{3}{2})$

Bước 6.7.2

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$\frac{3}{2}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{2}$

Dạng thập phân:

$1.5$

Dạng hỗn số:

$1 \frac{1}{2}$