Giải tích Ví dụ

$\int \sqrt{\cos (6 x)} \sin (6 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{2} = \cos (6 x)$ . Sau đó $d u_{2} = - 6 \sin (6 x) d x$ , nên $- \frac{1}{6} d u_{2} = \sin (6 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{2} = \cos (6 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\cos (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.2.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $6 x$ .

$- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 1.1.3.2

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 \sin (6 x) \cdot 1$

Bước 1.1.3.4

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 6 \sin (6 x)$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \sqrt{u_{2}} \frac{1}{- 6} d u_{2}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \sqrt{u_{2}} (- \frac{1}{6}) d u_{2}$

Bước 2.2

Kết hợp $\sqrt{u_{2}}$ và $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \frac{\sqrt{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{6} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2})$

Bước 5

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{2}}$ ở dạng ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{1}{6} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Viết lại $- \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{- 1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{9} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\cos (6 x)$ .

$- \frac{1}{9} {\cos (6 x)}^{\frac{3}{2}} + C$