Giải tích Ví dụ

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 1

Đưa $\sin^{4} (x)$ ra ngoài.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 2

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Viết lại ${\sin (x)}^{2 (2)}$ dưới dạng số mũ.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 3

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\sin^{2} (x)$ ở dạng $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

Bước 4

Giả sử $u = \cos (x)$ . Sau đó $d u = - \sin (x) d x$ , nên $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u = \cos (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Bước 5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

Bước 6

Khai triển ${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại ${(1 - u^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Bước 6.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Bước 6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

Bước 6.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Bước 6.8

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

Bước 6.9

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.10

Nhân $1$ với $1$ .

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.11

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.12

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.13

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.15

Cộng $2$ và $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.16

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.17

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.19

Cộng $2$ và $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.20

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.21

Nhân $u^{2}$ với $1$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

Bước 6.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

Bước 6.23

Cộng $2$ và $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

Bước 6.24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

Bước 6.25

Cộng $4$ và $2$ .

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

Bước 6.26

Trừ $u^{4}$ khỏi $- u^{4}$ .

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

Bước 6.27

Sắp xếp lại $- 2 u^{4}$ và $u^{6}$ .

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

Bước 6.28

Di chuyển $u^{2}$ .

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

Bước 7

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{6}$ đối với $u$ là $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Bước 9

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 12.1.2

Kết hợp $\frac{1}{7}$ và $u^{7}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Bước 12.1.3

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Bước 12.2

Rút gọn.

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

Bước 14

Sắp xếp lại các số hạng.

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$