Giải tích Ví dụ

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

Bước 1

Giả sử $u = \sec (x)$ . Sau đó $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , nên $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = \sec (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = \sec (x)$ .

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

Bước 1.3.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

Bước 1.3.3

Giá trị chính xác của $\sec (\frac{π}{4})$ là $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

Bước 1.3.4

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Bước 1.3.5

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.1

Nhân $\frac{2}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Bước 1.3.5.2

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Bước 1.3.5.3

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Bước 1.3.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Bước 1.3.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Bước 1.3.5.6

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.3.5.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.3.5.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.3.5.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.5.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.3.5.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Bước 1.3.5.6.5

Tính số mũ.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Bước 1.3.6.2

Chia $\sqrt{2}$ cho $1$ .

$u_{lower} = \sqrt{2}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = \sec (x)$ .

$u_{upper} = \sec (0)$

Bước 1.5

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$u_{upper} = 1$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

Bước 2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

Bước 3

Rút gọn bằng cách loại bỏ số mũ chứa căn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính $\frac{1}{2} u^{2}$ tại $1$ và tại $\sqrt{2}$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 3.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

Bước 3.3

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Bước 3.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Bước 3.3.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Bước 3.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

Bước 3.3.5

Tính số mũ.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

Bước 3.4.1.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

Bước 3.4.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Bước 3.4.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Bước 3.4.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

Bước 3.4.1.3.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Bước 3.4.2.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Bước 3.4.2.4.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Bước 3.4.2.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{2}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$- \frac{1}{2}$

Dạng thập phân:

$- 0.5$