Giải tích Ví dụ

$\int 3 t^{2} {(2 t^{3} + 8)}^{- 1} d t$

Bước 1

Giả sử $u = 2 t^{3} + 8$ . Sau đó $d u = 6 t^{2} d t$ , nên $\frac{1}{6} d u = t^{2} d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 2 t^{3} + 8$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3} + 8]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 t^{3} + 8$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t^{3}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [8]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [8]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 t^{2} + \frac{d}{d t} [8]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $8$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $8$ đối với $t$ là $0$ .

$6 t^{2} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $6 t^{2}$ và $0$ .

$6 t^{2}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int 3 u^{- 1} \frac{1}{6} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $3$ .

$\int \frac{3}{6} u^{- 1} d u$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{3}{6}$ và $u^{- 1}$ .

$\int \frac{3 u^{- 1}}{6} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $u^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{3}{6 u} d u$

Bước 2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $3$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\int \frac{3 (1)}{6 u} d u$

Bước 2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 u$ .

$\int \frac{3 (1)}{3 (2 u)} d u$

Bước 2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{3 \cdot 1}{3 (2 u)} d u$

Bước 2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 t^{3} + 8$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 t^{3} + 8 |) + C$