Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{3} \frac{x}{{(x^{2} - 3)}^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} - 3$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Bước 1.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 3$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 4 - 3$

Bước 1.3.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 3$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 9 - 3$

Bước 1.5.2

Trừ $3$ khỏi $9$ .

$u_{upper} = 6$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 6$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int_{1}^{6} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{6} u^{- 2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{6}$

Bước 6

Tính $- u^{- 1}$ tại $6$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((- 6^{- 1}) + 1^{- 1})$

Bước 7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1^{- 1})$

Bước 8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + 1)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{6} + \frac{6}{6})$

Bước 9.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 6}{6}$

Bước 9.3

Cộng $- 1$ và $6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{6}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 6}$

Bước 10.2

Nhân $2$ với $6$ .

$\frac{5}{12}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{12}$

Dạng thập phân:

$0.41\overline{6}$