Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x}} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 3

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 4

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Khai triển $(x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.4

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.5

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.7.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{1 - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.10

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.12

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.13

Sắp xếp lại $x^{\frac{3}{2}}$ và $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5.14

Di chuyển $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5.15

Sắp xếp lại $3 x^{\frac{1}{2}}$ và $7 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 7

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $7$ ra khỏi tích phân.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 9

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $x^{\frac{3}{2}}$ .

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

$14 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$