Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

Bước 2

Khai triển ${(u - 1)}^{2} u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(u - 1)}^{2}$ ở dạng $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Bước 2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Bước 2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

Bước 2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.8

Sắp xếp lại $u$ và $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.9

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.10

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.14

Cộng $2$ và $3$ .

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.15

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.16

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.17

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.18

Cộng $1$ và $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.19

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.20

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.21

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.22

Cộng $1$ và $3$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

Bước 2.23

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

Bước 2.24

Nhân $u^{3}$ với $1$ .

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

Bước 2.25

Trừ $u^{4}$ khỏi $- u^{4}$ .

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{5}$ đối với $u$ là $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Bước 5

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $u^{5}$ .

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 9

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$