Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} {(3 t - 1)}^{50} d t$

Bước 1

Giả sử $u = 3 t - 1$ . Sau đó $d u = 3 d t$ , nên $\frac{1}{3} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 t - 1$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [3 t - 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 t - 1$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [3 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$3 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $t$ là $0$ .

$3 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $3$ và $0$ .

$3$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u = 3 t - 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Bước 1.3.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u = 3 t - 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nhân $3$ với $1$ .

$u_{upper} = 3 - 1$

Bước 1.5.2

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 1}^{2} u^{50} \frac{1}{3} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{50}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 1}^{2} \frac{u^{50}}{3} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{2} u^{50} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{50}$ đối với $u$ là $\frac{1}{51} u^{51}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{51} u^{51}]_{- 1}^{2}$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{51} u^{51}$ tại $2$ và tại $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{51} \cdot 2^{51}) - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Bước 5.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{51} \cdot 2251799813685250 - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{51}$ và $2251799813685250$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} {(- 1)}^{51})$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $51$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} - \frac{1}{51} \cdot - 1)$

Bước 5.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + 1 (\frac{1}{51}))$

Bước 5.4.2.2

Nhân $\frac{1}{51}$ với $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{2251799813685250}{51} + \frac{1}{51})$

Bước 5.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685250 + 1}{51}$

Bước 5.4.3.2

Cộng $2251799813685250$ và $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2251799813685251}{51}$

Bước 5.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2251799813685251}{51}$ .

$\frac{2251799813685251}{3 \cdot 51}$

Bước 5.4.4.2

Nhân $3$ với $51$ .

$\frac{2251799813685251}{153}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{2251799813685251}{153}$

Dạng thập phân:

$14717645841080.1$