Giải tích Ví dụ

$\int (x + 1) \tan^{2} (3 x^{2} + 6 x) \sec^{2} (3 x^{2} + 6 x) d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Sau đó $d u_{1} = (6 x + 6) d x$ , nên $\frac{1}{6} d u_{1} = (x + 1) d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x^{2} + 6 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 6 x]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 6 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x + 6 \cdot 1$

Bước 1.1.4.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 x + 6$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $\tan^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{6} \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{\tan^{2} (u_{1})}{6}$ và $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1})}{6} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int \tan^{2} (u_{1}) \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Bước 4

Giả sử $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Sau đó $d u_{2} = \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , nên $\frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{2} = \tan (u_{1})$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $\tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Bước 4.1.2

Đạo hàm của $\tan (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec^{2} (u_{1})$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{6} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ ở dạng $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Bước 6.2

Viết lại $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ ở dạng $\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$ .

$\frac{1}{18} {u_{2}}^{3} + C$

Bước 7

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\tan (u_{1})$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (u_{1}) + C$

Bước 7.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x^{2} + 6 x$ .

$\frac{1}{18} \tan^{3} (3 x^{2} + 6 x) + C$