Giải tích Ví dụ

$\int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $x$ và $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Bước 4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Bước 4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Bước 4.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Bước 4.7

Cộng $2$ và $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Bước 4.8

Đưa dấu âm ra ngoài.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Bước 4.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Bước 4.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Bước 4.11

Cộng $1$ và $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Bước 4.12

Sắp xếp lại $x^{\frac{3}{2}}$ và $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Bước 9.1.2

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Bước 9.2

Rút gọn.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$