Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x - 4$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x - 4$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Bước 1.1.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{(u_{1} + 4)}^{2}}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int {(u_{1} + 4)}^{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = u_{1} + 4$ . Sau đó $d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = u_{1} + 4$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $u_{1} + 4$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 4]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{1} + 4$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [4]$

Bước 3.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $4$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 4)}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 4

Giả sử $u_{3} = u_{2} - 4$ . Sau đó $d u_{3} = d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Hãy đặt $u_{3} = u_{2} - 4$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Tính đạo hàm $u_{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 4]$

Bước 4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u_{2} - 4$ đối với $u_{2}$ là $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Bước 4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 4]$

Bước 4.1.4

Vì $- 4$ là hằng số đối với $u_{2}$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $u_{2}$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 4.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$\int {(u_{3} + 4)}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại ${(u_{3} + 4)}^{2}$ ở dạng $(u_{3} + 4) (u_{3} + 4)$ .

$\int (u_{3} + 4) (u_{3} + 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} (u_{3} + 4) + 4 (u_{3} + 4)) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 (u_{3} + 4)) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4 + 4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + (4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + (4 u_{3} + 4 \cdot 4) {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + u_{3} \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.8

Sắp xếp lại $u_{3}$ và $4$ .

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.9

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.10

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.12

Cộng $1$ và $1$ .

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{2 - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.14

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.15

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.17

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.17.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{4 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.17.2

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.18

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}) + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.19

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.20

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.22

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.23

Nâng $u_{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}) + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.24

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{1 - \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.25

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.26

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{2 - 1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.27

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 \cdot 4 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.28

Nhân $4$ với $4$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.29

Cộng $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ và $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.30

Sắp xếp lại $8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ và $16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

Bước 5.31

Di chuyển ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$\int 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} + 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 6

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 16 {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 7

Vì $16$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int {u_{3}}^{- \frac{1}{2}} d u_{3} + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + \int 8 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 9

Vì $8$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ đối với $u_{3}$ là $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ .

$16 (2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + C) + 8 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

$32 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 12.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$32 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $u_{2} - 4$ .

$32 {(u_{2} - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(u_{2} - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(u_{2} - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $u_{1} + 4$ .

$32 {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(u_{1} + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 13.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x - 4$ .

$32 {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $- 4$ và $4$ .

$32 {(x + 0 - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14.2

Cộng $x$ và $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14.3

Cộng $- 4$ và $4$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x + 0 - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14.4

Cộng $x$ và $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4 + 4 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14.5

Cộng $- 4$ và $4$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x + 0 - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$

Bước 14.6

Cộng $x$ và $0$ .

$32 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} + \frac{16}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 4)}^{\frac{5}{2}} + C$