Giải tích Ví dụ

$\int (x^{2} + 2) {(x + 1)}^{42} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

Bước 2

Khai triển $({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(u - 1)}^{2}$ ở dạng $(u - 1) (u - 1)$ .

$\int ((u - 1) (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 + 2) u^{42} d u$

Bước 2.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.7

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.8

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.9

Sắp xếp lại $u$ và $- 1$ .

$\int u \cdot u \cdot u^{42} - 1 \cdot u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.10

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.11

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.13

Cộng $1$ và $1$ .

$\int u^{2} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{2 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.15

Cộng $2$ và $42$ .

$\int u^{44} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.16

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{44} - (u \cdot u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.17

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{44} - (u^{1} u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.18

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{44} - u^{1 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.19

Cộng $1$ và $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.20

Đưa dấu âm ra ngoài.

$\int u^{44} - u^{43} - (u \cdot u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.21

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - (u^{1} u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.22

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{1 + 42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.23

Cộng $1$ và $42$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.24

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.25

Nhân $u^{42}$ với $1$ .

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.26

Trừ $u^{43}$ khỏi $- u^{43}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

Bước 2.27

Cộng $u^{42}$ và $2 u^{42}$ .

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{44} d u + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{44}$ đối với $u$ là $\frac{1}{45} u^{45}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Bước 5

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 \int u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{43}$ đối với $u$ là $\frac{1}{44} u^{44}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + \int 3 u^{42} d u$

Bước 7

Vì $3$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 \int u^{42} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{42}$ đối với $u$ là $\frac{1}{43} u^{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 (\frac{1}{43} u^{43} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{u^{45}}{45} - \frac{u^{44}}{22} + 3 (\frac{1}{43} u^{43}) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + 3 (\frac{1}{43}) u^{43} + C$

Bước 11

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{43}$ .

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + \frac{3}{43} u^{43} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{45} {(x + 1)}^{45} - \frac{1}{22} {(x + 1)}^{44} + \frac{3}{43} {(x + 1)}^{43} + C$