Giải tích Ví dụ

$\int x {(x + 1)}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int (u - 1) u^{3} d u$

Bước 2

Nhân $(u - 1) u^{3}$ .

$\int u \cdot u^{3} - 1 u^{3} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $u$ với $u^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân $u$ với $u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\int u^{1} u^{3} - 1 u^{3} d u$

Bước 3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int u^{1 + 3} - 1 u^{3} d u$

Bước 3.1.2

Cộng $1$ và $3$ .

$\int u^{4} - 1 u^{3} d u$

Bước 3.2

Viết lại $- 1 u^{3}$ ở dạng $- u^{3}$ .

$\int u^{4} - u^{3} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int u^{4} d u + \int - u^{3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{4}$ đối với $u$ là $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - u^{3} d u$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - \int u^{3} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

$\frac{1}{5} u^{5} - \frac{1}{4} u^{4} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} - \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$