Giải tích Ví dụ

$\int \cos^{-1} (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos^{-1} (x)$ và $d v = 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Bước 2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \int - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\cos^{-1} (x) x - - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x + 1 \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 4.2

Nhân $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ với $1$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 5.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos^{-1} (x) x + \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 6.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 6.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\cos^{-1} (x) x + \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\cos^{-1} (x) x - \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\cos^{-1} (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 9

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 9.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 9.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 11

Viết lại $\cos^{-1} (x) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\cos^{-1} (x) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x^{2}$ .

$\cos^{-1} (x) x - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$