Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} d x$

Bước 1

Không thể hoàn thành tích phân này bằng phương pháp thay thế u. Mathway sẽ sử dụng phương pháp khác.

Bước 2

Giả sử $x = \sec (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec (t) \tan (t)$ dương.

$\int \frac{\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int \frac{\sqrt{\tan^{2} (t)}}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.1.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $\sec (t)$ ra ngoài $\sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) (\tan (t))) d t$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{\tan (t)}{\sec (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Bước 3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \tan (t) \tan (t) d t$

Bước 4

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) d t$

Bước 5

Nâng $\tan (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) d t$

Bước 6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Bước 7

Cộng $1$ và $1$ .

$\int \tan^{2} (t) d t$

Bước 8

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (t)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Bước 9

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 10

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- t + C + \int \sec^{2} (t) d t$

Bước 11

Vì đạo hàm của $\tan (t)$ là $\sec^{2} (t)$ , tích phân của $\sec^{2} (t)$ là $\tan (t)$ .

$- t + C + \tan (t) + C$

Bước 12

Rút gọn.

$- t + \tan (t) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $arcsec (x)$ .

$- arcsec (x) + \tan (arcsec (x)) + C$