Giải tích Ví dụ

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

Bước 1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 1.3

Viết lại đa thức này.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

Bước 1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $16$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$16 \int u^{- 2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$16 (- u^{- 1} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $16 (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $16 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 1$ với $16$ .

$- 16 \frac{1}{u} + C$

Bước 6.2.2

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 16}{u} + C$

Bước 6.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16}{u} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$- \frac{16}{x + 1} + C$