Giải tích Ví dụ

$\int_{- 1}^{1} \frac{5 r}{{(4 + r^{2})}^{2}} d r$

Bước 1

Giả sử $u = 4 + r^{2}$ . Sau đó $d u = 2 r d r$ , nên $\frac{1}{2} d u = r d r$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 + r^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d r}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + r^{2}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 1.1.3

Vì $4$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $4$ đối với $r$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $2 r$ .

$2 r$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $r$ trong $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + {(- 1)}^{2}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 4 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{lower} = 5$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $r$ trong $u = 4 + r^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 1^{2}$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 4 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 5$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{5}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{u^{2} \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\int_{5}^{5} \frac{5}{2 u^{2}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{5}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{5}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int_{5}^{5} u^{- 2} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{5}{2} - u^{- 1}]_{5}^{5}$

Bước 6

Tính $- u^{- 1}$ tại $5$ và tại $5$ .

$\frac{5}{2} ((- 5^{- 1}) + 5^{- 1})$

Bước 7

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + 5^{- 1})$

Bước 8

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2} (- \frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

Bước 9

Cộng $- \frac{1}{5}$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{2} \cdot 0$

Bước 10

Nhân $\frac{5}{2}$ với $0$ .

$0$