Giải tích Ví dụ

$\int z^{7} (10 z^{8} - 4) d z$

Bước 1

Giả sử $u = z^{2}$ . Sau đó $d u = 2 z d z$ , nên $\frac{1}{2 z} d u = d z$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = z^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d z}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $z^{2}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 z$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int {\sqrt{u}}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u}}^{6}$ ở dạng $u^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot 6} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $6$ .

$\int u^{\frac{6}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int u^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int u^{\frac{3}{1}} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.1.4.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$\int u^{3} (5 {\sqrt{u}}^{8} - 2) d u$

Bước 2.2

Viết lại ${\sqrt{u}}^{8}$ ở dạng $u^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{3} (5 {(u^{\frac{1}{2}})}^{8} - 2) d u$

Bước 2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{1}{2} \cdot 8} - 2) d u$

Bước 2.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{8}{2}} - 2) d u$

Bước 2.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2}} - 2) d u$

Bước 2.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}} - 2) d u$

Bước 2.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}} - 2) d u$

Bước 2.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int u^{3} (5 u^{\frac{4}{1}} - 2) d u$

Bước 2.2.4.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$\int u^{3} (5 u^{4} - 2) d u$

Bước 3

Khai triển $u^{3} (5 u^{4} - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int u^{3} (5 u^{4}) + u^{3} \cdot - 2 d u$

Bước 3.2

Sắp xếp lại $u^{3}$ và $5$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} + u^{3} \cdot - 2 d u$

Bước 3.3

Sắp xếp lại $u^{3}$ và $- 2$ .

$\int 5 \cdot u^{3} u^{4} - 2 \cdot u^{3} d u$

Bước 3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 5 u^{3 + 4} - 2 u^{3} d u$

Bước 3.5

Cộng $3$ và $4$ .

$\int 5 u^{7} - 2 u^{3} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 5 u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Bước 5

Vì $5$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int u^{7} d u + \int - 2 u^{3} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{7}$ đối với $u$ là $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) + \int - 2 u^{3} d u$

Bước 7

Vì $- 2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 \int u^{3} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (\frac{1}{8} u^{8} + C) - 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Bước 9.2

Viết lại $5 (\frac{1}{8}) u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ ở dạng $\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$ .

$\frac{5}{8} u^{8} - 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 2}{4} u^{4} + C$

Bước 9.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 (- 1)}{4} u^{4} + C$

Bước 9.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Bước 9.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C$

Bước 9.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5}{8} u^{8} + \frac{- 1}{2} u^{4} + C$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{5}{8} u^{8} - \frac{1}{2} u^{4} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $z^{2}$ .

$\frac{5}{8} {(z^{2})}^{8} - \frac{1}{2} {(z^{2})}^{4} + C$