Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (θ)}{\sqrt{1 + \sin (θ)}} d θ$

Bước 1

Giả sử $u = 1 + \sin (θ)$ . Sau đó $d u = \cos (θ) d θ$ , nên $\frac{1}{\cos (θ)} d u = d θ$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 + \sin (θ)$ . Tìm $\frac{d u}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 + \sin (θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [1 + \sin (θ)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \sin (θ)$ đối với $θ$ là $\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [1] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $θ$ , đạo hàm của $1$ đối với $θ$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Bước 1.1.3

Đạo hàm của $\sin (θ)$ đối với $θ$ là $\cos (θ)$ .

$0 + \cos (θ)$

Bước 1.1.4

Cộng $0$ và $\cos (θ)$ .

$\cos (θ)$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $θ$ trong $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $θ$ trong $u = 1 + \sin (θ)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $1$ và $1$ .

$u_{upper} = 2$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int_{1}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int_{1}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{2}$

Bước 4

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $2$ và tại $1$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 5

Nhân $2$ với $2^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $2$ với $2^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 5.4

Cộng $2$ và $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Bước 6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1$

Bước 7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Bước 8

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$2^{\frac{3}{2}} - 2$

Dạng thập phân:

$0.82842712 \dots$