Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - 2 x^{2}$ . Sau đó $d u = - 4 x d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - 2 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 2 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $- 2$ .

$0 - 4 x$

Bước 1.1.4

Trừ $4 x$ khỏi $0$ .

$- 4 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Bước 2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 (- u + 1)}$ ở dạng ${(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (- u + 1)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2.2

Di chuyển $2^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2.3

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $2$ với $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2.3.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.2.3.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.3.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.3.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Nhân các số mũ trong ${({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.2

Rút gọn.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.3

Nhân các số mũ trong ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{1}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.4

Tính số mũ.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.4.5

Kết hợp $\frac{- u + 1}{2}$ và $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

Bước 4.4.6

Di chuyển $u^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Bước 6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.1.2

Nhân $2$ với $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 6.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Khai triển $(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \frac{1}{8} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.2

Đưa dấu âm ra ngoài.

$- \frac{1}{8} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.3

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{1}{8} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.5

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.7

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.8

Nhân $u^{- \frac{1}{2}}$ với $1$ .

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 7.9

Sắp xếp lại $- u^{\frac{1}{2}}$ và $u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \frac{1}{8} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

Bước 12

Rút gọn.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Bước 13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

Bước 14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

Bước 14.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 14.2

Để viết $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 14.3

Kết hợp $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 14.5

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Bước 14.6

Nhân $- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.6.1

Nhân $\frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ với $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8} + C$

Bước 14.6.2

Nhân $3$ với $8$ .

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{24} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{24} (6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$