Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{2} x {(x^{2} + 1)}^{3} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$u_{upper} = 5$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{5} u^{3} \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{3}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{u^{3}}{2} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{3} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{5}$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{1}{4} u^{4}$ tại $5$ và tại $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 5^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.2

Nâng $5$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 625 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.3

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $625$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

Bước 5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

Bước 5.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{625}{4} - \frac{1}{4})$

Bước 5.4.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{625 - 1}{4}$

Bước 5.4.3.2

Trừ $1$ khỏi $625$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{624}{4}$

Bước 5.4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $624$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $624$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4}$

Bước 5.4.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 (1)}$

Bước 5.4.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 156}{4 \cdot 1}$

Bước 5.4.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{156}{1}$

Bước 5.4.3.3.2.4

Chia $156$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 156$

Bước 5.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $156$ .

$\frac{156}{2}$

Bước 5.4.4.2

Triệt tiêu thừa số chung của $156$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $156$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2}$

Bước 5.4.4.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.4.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 78}{2 (1)}$

Bước 5.4.4.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 78}{2 \cdot 1}$

Bước 5.4.4.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{78}{1}$

Bước 5.4.4.2.2.4

Chia $78$ cho $1$ .

$78$