Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${\sqrt{u - 1}}^{2}$ ở dạng $u - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u - 1}$ ở dạng ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.1.5

Rút gọn.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.2

Nhân $\frac{u - 1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

Bước 4

Chia $u - 1$ cho $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$u$

$0$

$u$

$1$

Bước 4.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $u$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $u$ .

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

Bước 4.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

Bước 4.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $u + 0$

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

Bước 4.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

Bước 4.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

Bước 6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

Bước 9

Rút gọn.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Bước 11.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Bước 11.2.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Bước 11.2.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Bước 11.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$