Giải tích Ví dụ

$\frac{2}{3} \int \sqrt{4 - \frac{3}{5} x} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Sau đó $d u = - \frac{3}{5} d x$ , nên $- \frac{5}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 4 - \frac{3}{5} x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $4 - \frac{3}{5} x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - \frac{3}{5} x]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 - \frac{3}{5} x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Bước 1.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{5} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- \frac{3}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{5} x$ đối với $x$ là $- \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{3}{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - \frac{3}{5} \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - \frac{3}{5}$

Bước 1.1.4

Trừ $\frac{3}{5}$ khỏi $0$ .

$- \frac{3}{5}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{- 1}{- \frac{3}{5}} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{1}{\frac{3}{5}} d u$

Bước 2.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{3}{5}$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} (1 (\frac{5}{3})) d u$

Bước 2.3

Nhân $\frac{5}{3}$ với $1$ .

$\frac{2}{3} \int - \sqrt{u} \frac{5}{3} d u$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{5}{3}$ và $\sqrt{u}$ .

$\frac{2}{3} \int - \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} (- \int \frac{5 \sqrt{u}}{3} d u)$

Bước 4

Vì $\frac{5}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{5}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{2}{3} (- (\frac{5}{3} \int \sqrt{u} d u))$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Nhân $2$ với $5$ .

$- \frac{10}{3 \cdot 3} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3

Nhân $3$ với $3$ .

$- \frac{10}{9} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $- \frac{10}{9} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Viết lại $- \frac{10}{9} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ ở dạng $- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{20}{27} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 - \frac{3}{5} x$ .

$- \frac{20}{27} {(4 - \frac{3}{5} x)}^{\frac{3}{2}} + C$