Giải tích Ví dụ

$\int e^{x} \sqrt{1 - e^{x}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 1 - e^{x}$ . Sau đó $d u = - e^{x} d x$ , nên $- \frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 1 - e^{x}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Bước 1.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 - e^{x}$

Bước 1.1.4

Trừ $e^{x}$ khỏi $0$ .

$- e^{x}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int - 1 \sqrt{u} d u$

Bước 2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int \sqrt{u} d u$

Bước 3

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 5

Viết lại $- (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - e^{x}$ .

$- \frac{2}{3} {(1 - e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$