Giải tích Ví dụ

$\int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = \ln (x)$ . Sau đó $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{u_{1}}{e^{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Làm âm số mũ của $e^{u_{1}}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\int u_{1} {(e^{u_{1}})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{u_{1}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u_{1} e^{u_{1} \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 2.2.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- 1 \cdot u_{1}} d u_{1}$

Bước 2.2.3

Viết lại $- 1 u_{1}$ ở dạng $- u_{1}$ .

$\int u_{1} e^{- u_{1}} d u_{1}$

Bước 3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = u_{1}$ và $d v = e^{- u_{1}}$ .

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - \int - e^{u_{2}} d u_{1}$

Bước 4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại $u_{1} (- e^{u_{2}}) - (- e^{u_{2}} u_{1} + C)$ ở dạng $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$

Bước 5.2

Viết lại $- u_{1} e^{u_{2}} - (- e^{u_{2}} u_{1}) + C$ ở dạng $- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + e^{u_{2}} u_{1} + C$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Cộng $- u_{1} e^{u_{2}}$ và $e^{u_{2}} u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Sắp xếp lại $e^{u_{2}}$ và $u_{1}$ .

$- u_{1} e^{u_{2}} + u_{1} e^{u_{2}} + C$

Bước 5.3.1.2

Cộng $- u_{1} e^{u_{2}}$ và $u_{1} e^{u_{2}}$ .

$0 + C$

Bước 5.3.2

Cộng $0$ và $C$ .

$C$