Giải tích Ví dụ

$\int \frac{12 x^{2}}{2 x + 1} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 2 x + 1$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x + 1$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{6 {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 2

Vì $6$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int \frac{{(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}{u_{1}} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , nên $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.3.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d u_{1}} [- \frac{1}{2}]$

Bước 3.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Vì $- \frac{1}{2}$ là hằng số đối với $u_{1}$ , đạo hàm của $- \frac{1}{2}$ đối với $u_{1}$ là $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Bước 3.1.4.2

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} (1 \cdot 2) d u_{2}$

Bước 4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} \cdot 2 d u_{2}$

Bước 4.3

Kết hợp $\frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1}$ và $2$ .

$6 \int \frac{{u_{2}}^{2} \cdot 2}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 4.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${u_{2}}^{2}$ .

$6 \int \frac{2 {u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$6 (2 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Bước 6

Nhân $2$ với $6$ .

$12 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{2 u_{2} + 1} d u_{2}$

Bước 7

Chia ${u_{2}}^{2}$ cho $2 u_{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$2 u_{2}$

$1$

${u_{2}}^{2}$

$0 u_{2}$

$0$

Bước 7.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia ${u_{2}}^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 u_{2}$ .

					$\frac{u_{2}}{2}$
	$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$

Bước 7.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			+	${u_{2}}^{2}$	+	$\frac{u_{2}}{2}$

Bước 7.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $u^{2} + \frac{u}{2}$

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$

Bước 7.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$

Bước 7.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$\frac{u_{2}}{2}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Bước 7.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $- \frac{u_{2}}{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $2 u_{2}$ .

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$

Bước 7.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$

Bước 7.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $- \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4}$

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$

Bước 7.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$\frac{u_{2}}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 u_{2}$	+	$1$		${u_{2}}^{2}$	+	$0 u_{2}$	+	$0$
			-	${u_{2}}^{2}$	-	$\frac{u_{2}}{2}$
					-	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$0$
					+	$\frac{u_{2}}{2}$	+	$\frac{1}{4}$
							+	$\frac{1}{4}$

Bước 7.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$12 \int \frac{u_{2}}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2}$

Bước 8

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$12 (\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Bước 9

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2} + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) + \int - \frac{1}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Bước 11

Áp dụng quy tắc hằng số.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{2}}^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{1}{4} u_{2} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Bước 12.2

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \int \frac{1}{4 (2 u_{2} + 1)} d u_{2})$

Bước 13

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{2} + 1} d u_{2})$

Bước 14

Giả sử $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Sau đó $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , nên $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Viết lại bằng $u_{3}$ và $d$ $u_{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Hãy đặt $u_{3} = 2 u_{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Tính đạo hàm $2 u_{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2} + 1]$

Bước 14.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 u_{2} + 1$ đối với $u_{2}$ là $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 14.1.3

Tính $\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , nên đạo hàm của $2 u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 14.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 14.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + \frac{d}{d u_{2}} [1]$

Bước 14.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $u_{2}$ , đạo hàm của $1$ đối với $u_{2}$ là $0$ .

$2 + 0$

Bước 14.1.4.2

Cộng $2$ và $0$ .

$2$

Bước 14.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{3}$ và $d u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3})$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Nhân $\frac{1}{u_{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3})$

Bước 15.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{3}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3})$

Bước 16

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{3}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Bước 17

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 17.2

Nhân $2$ với $4$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Bước 18

Tích phân của $\frac{1}{u_{3}}$ đối với $u_{3}$ là $\ln (| u_{3} |)$ .

$12 (\frac{1}{2} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C) - \frac{u_{2}}{4} + C + \frac{1}{8} (\ln (| u_{3} |) + C))$

Bước 19

Rút gọn.

$12 (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - \frac{u_{2}}{4} + \frac{\ln (| u_{3} |)}{8}) + C$

Bước 20

Sắp xếp lại các số hạng.

$12 (\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} - \frac{1}{4} u_{2} + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Bước 21

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 21.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| u_{3} |)) + C$

Bước 21.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 u_{2} + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Bước 21.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 u_{2} + 1 |)) + C$

Bước 21.4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{u_{1}}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 21.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x + 1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 1 - 1}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x + 0}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{4}$ vào tử số.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.3.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{2 (x)}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.3.5

Viết lại biểu thức.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.4

Nhân $\frac{- 1}{2}$ với $\frac{x}{2}$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{2 \cdot 2} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.5

Nhân $2$ với $2$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{- x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 (\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2}) + 1 |)) + C$

Bước 22.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 1 - 1}{2} + 1 |)) + C$

Bước 22.8

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.8.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x + 0}{2} + 1 |)) + C$

Bước 22.8.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Bước 22.9

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.9.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 \frac{2 x}{2} + 1 |)) + C$

Bước 22.9.2

Viết lại biểu thức.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1}{2} - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.10.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 1 - 1}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x + 1 - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.10.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x + 0}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10.2.2

Cộng $2 x$ và $0$ .

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.10.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 (\frac{1}{4} {(\frac{2 x}{2})}^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10.3.2

Chia $x$ cho $1$ .

$12 (\frac{1}{4} x^{2} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{1}{8} \ln (| 2 x + 1 |)) + C$

Bước 22.10.5

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$12 (\frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Bước 22.11

Để viết $\frac{x^{2}}{4}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Bước 22.12

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.12.1

Nhân $\frac{x^{2}}{4}$ với $\frac{2}{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Bước 22.12.2

Nhân $4$ với $2$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2}{8} + \frac{\ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Bước 22.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{x^{2} \cdot 2 + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Bước 22.14

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$12 (- \frac{x}{4} + \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8}) + C$

Bước 22.15

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$12 (- \frac{x}{4}) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.16

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.16.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x}{4}$ vào tử số.

$12 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.16.2

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$4 (3) \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.16.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$4 \cdot 3 \frac{- x}{4} + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.16.4

Viết lại biểu thức.

$3 (- x) + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.17

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 x + 12 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.18

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.18.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$- 3 x + 4 (3) \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{8} + C$

Bước 22.18.2

Đưa $4$ ra ngoài $8$ .

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Bước 22.18.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 3 x + 4 \cdot 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{4 \cdot 2} + C$

Bước 22.18.4

Viết lại biểu thức.

$- 3 x + 3 \frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Bước 22.19

Kết hợp $3$ và $\frac{2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

$- 3 x + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.20

Để viết $- 3 x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- 3 x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.21

Kết hợp $- 3 x$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 3 x \cdot 2}{2} + \frac{3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.22

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.23

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.23.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x \cdot 2 + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 22.23.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 x \cdot 2$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.23.1.2

Đưa $3$ ra ngoài $3 (- x \cdot 2) + 3 (2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- x \cdot 2 + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.23.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 (- 2 x + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.24

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 2 x$ .

$\frac{3 (- (2 x) + 2 x^{2} + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.25

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$\frac{3 (- (2 x) - (- 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.26

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x) - (- 2 x^{2})$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) + \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 22.27

Đưa $- 1$ ra ngoài $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Bước 22.28

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (2 x - 2 x^{2}) - 1 (- \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Bước 22.29

Viết lại $- (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ ở dạng $- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{3 (- 1 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)))}{2} + C$

Bước 22.30

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |))}{2} + C$

Bước 23

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{3}{2} (2 x - 2 x^{2} - \ln (| 2 x + 1 |)) + C$