Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x \sin (\sqrt{x^{2} + 4})}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = x^{2} + 4$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2} + 4$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Bước 1.1.4

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 2} d u_{1}$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{2 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Bước 4.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Bước 4.3

Di chuyển ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Bước 4.4

Nhân các số mũ trong ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Bước 4.4.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Bước 4.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Bước 5

Giả sử $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , nên $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 5.1.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 5.1.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 5.1.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 5.1.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 5.1.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 5.1.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 5.1.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.8.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.1.8.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 6

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 7.3

Nhân $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ với $1$ .

$\int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 8

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$- \cos (u_{2}) + C$

Bước 9

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 9.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2} + 4$ .

$- \cos ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$