Giải tích Ví dụ

$\int (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) \sqrt{x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Sau đó $d u = (4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x) d x$ , nên $\frac{1}{4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 8 (2 x)$

Bước 1.1.4.3

Nhân $2$ với $8$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 16 x$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 4

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{4} - 3 x^{3} + 8 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$