Giải tích Ví dụ

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

Bước 1

Giả sử $u_{1} = 3 x$ . Sau đó $d u_{1} = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u_{1} = 3 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 1.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 1.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

Bước 2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{u_{1}}$ .

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

Bước 3

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ , nên $3 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

Bước 3.1.2

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{3}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Bước 3.1.4

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{1}{3}$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = {u_{2}}^{2}$ và $d v = e^{3 u_{2}}$ .

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{u_{3}}$ .

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 5.2

Kết hợp ${u_{2}}^{2}$ và $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ và $2$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

Bước 7.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

Bước 9.2

Viết lại $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ ở dạng $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ và $e^{u_{3}}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9.3.4

Kết hợp $e^{u_{3}}$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 9.3.5

Kết hợp ${u_{2}}^{2}$ và $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ .

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

Bước 9.3.6

Trừ $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ khỏi $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ .

$0 + C$

Bước 9.3.7

Cộng $0$ và $C$ .

$C$